Nullsummenspiel Spieltheorie Beispiel Essay

Ein Zwei-Personen-Nullsummenspiel ist in der Spieltheorie ein Nullsummenspiel mit zwei Spielern. Nullsummenspiele sind dadurch gekennzeichnet, dass die Verluste der Verlierer genau den Gewinnen der Sieger entsprechen.[1] Die meisten gängigen Spiele um Geld, wie Skat, Poker usw., sind Beispiele hierfür. Sind an einem Nullsummenspiel nur zwei Spieler beteiligt, so entfallen auch alle Möglichkeiten für kooperatives Verhalten auf Kosten Dritter. Aus diesem Grund stellen Zwei-Personen-Nullsummenspiele ein gut überblickbares Modell für spieltheoretische Strategie- und Gleichgewichtskonzepte dar, das schon seit Beginn der Spieltheorie regelmäßig untersucht wurde. Als Besonderheit fallen hier die Begriffe Nash-Gleichgewicht, Gleichgewicht in Maximin-Strategien und Gleichgewicht in Minimax-Strategien zusammen.

Die Begriffe Maximin- und Minimax-Strategie werden in der Literatur allerdings nicht einheitlich verwendet, es sollte immer angegeben werden, welches inhaltliche Konzept damit verbunden ist: Strategie schlimmstmöglicher Bestrafung des Gegners (in diesem Artikel Minimax) oder Maximierung des ungünstigsten Ergebnisses (in diesem Artikel Maximin).

Der Artikel definiert die grundlegenden Begriffe und behandelt die zwei zentralen Sätze für die Bestimmung der Gleichgewichte. Die Konzepte werden anhand der Beispiele „Matching Pennies“ und „Schere, Stein, Papier“ erläutert.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spiel in Normalform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um ein Spiel in Normalform (Spieltheorie) zu beschreiben, legt man fest, welche Spieler am Spiel beteiligt sind; man bezeichnet dies als die Spielermenge . Jedem Spieler wird eine Strategiemenge zugeordnet. Die Strategiemenge enthält alle Strategien, aus denen Spieler bei Durchführung des Spiels eine Strategie auswählt. Schließlich gibt es für jeden Spieler eine Auszahlungsfunktion , die jeder Strategiekombination eine Auszahlung für Spieler zuordnet.

Definition: Unter einem Spiel in Normalform versteht man ein Tripel [2], wobei .

Konstantsummenspiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einem Konstantsummenspiel wird bei jeder Strategiekombination, also jedem Spielergebnis die gleiche Auszahlungssumme an alle Spieler ausgeschüttet.

Definition: Ein Spiel heißt Konstantsummenspiel mit Auszahlungssumme , wenn gilt: .

Konstantsummenspiele ergeben sich insbesondere, wenn ein fester Ressourcenbestand oder ein fester Geldbetrag unter den Spielern als Spielergebnis aufgeteilt wird.

Nullsummenspiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition: Ein Konstantsummenspiel mit Auszahlungssumme heißt Nullsummenspiel, wenn: .

Spieltheoretisch besteht kein wesentlicher Unterschied zwischen Konstantsummen- und Nullsummenspielen: Aus einem Konstantsummenspiel mit Auszahlung entsteht ein äquivalentes Nullsummenspiel, indem man einem beliebigen Spieler vor Spielbeginn den Betrag zuordnet, den er nach Spielende sicher verliert und somit erhält. Die Auszahlungen im Spiel summieren sich dann zu 0. Aus diesem Grund kann man sagen, dass die Gewinne der Sieger den Verlusten der Unterlegenen entsprechen.

Zwei-Personen-Nullsummenspiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition: Ein Nullsummenspiel heißt Zwei-Personen-Nullsummenspiel, wenn: .

Bei Zwei-Personen-Nullsummenspielen ist die Auszahlung des zweiten Spielers bereits vollständig durch die Auszahlung des ersten Spielers festgelegt: Bezeichnet man die beiden Spieler mit und , also , so gilt .

Es ist daher möglich, die Definition eines Zwei-Personen-Nullsummenspiels zu vereinfachen:

Definition: Ein Zwei-Personen-Nullsummenspiel ist ein Tripel , wobei .[3]

Die Spielermenge ist hierbei natürlicherweise ; die Auszahlungsfunktion bezieht sich auf Spieler 1, Spieler 2 hat dann die Auszahlungsfunktion .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei-Personen-Nullsummenspiele, bei denen jeder Spieler nur endlich viele Strategien hat, werden gerne in Form einer Bimatrix oder vereinfacht als Matrix dargestellt. Dabei entspricht jede Zeile einer Strategie für Spieler 1, also einem Element aus , jede Spalte entsprechend einer Strategie für Spieler 2. In den Feldern der Bimatrix stehen die Auszahlungen und . Die Bimatrix stellt also eine Wertetabelle der Funktionen und gemäß der ersten Definition eines Zwei-Personen-Nullsummenspiels dar.

Da die Auszahlung von Spieler 2 aber durch die Auszahlung von Spieler 1 bereits eindeutig festgelegt ist, genügt eigentlich die Angabe der Auszahlung für Spieler 1; dies führt zur Matrixdarstellung gemäß der 2. Definition. Die Matrix ist dann eine Wertetabelle für die Funktion .

, ,
, ,

In der vereinfachten Darstellung erhält man dann:

Als Matrix des Spiels bezeichnet man dann die -Matrix A:

Matching Pennies (A)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Spieltheorie wird häufig Matching-Pennies als Nullsummenspiel betrachtet: Zwei Spieler legen gleichzeitig eine Münze auf den Tisch. Liegt bei beiden Münzen Kopf (K) oder bei beiden Münzen Zahl (Z) oben, so gehören die beiden Münzen Spieler 1; zeigen die beiden Münzen verschiedene Seiten, so gehören die beiden Münzen Spieler 2. Da der Sieger also die Münze des Verlierers gewinnt, handelt es sich um ein Nullsummenspiel. Als Bimatrix ergibt sich folgende Darstellung:

Kopf Zahl
Kopf 1, −1−1, 1
Zahl −1, 11, −1

In der vereinfachten Darstellung erhält man folgende Matrix:

Siehe auch: Abschnitt 'Beispiel: Kopf oder Zahl (Matching Pennies)' im Artikel 'Unberechenbarkeit (Spieltheorie)'

Schere, Stein, Papier (B)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Deutschland verbreiteter ist „Schere, Stein, Papier“. Die Strategien in diesem Spiel heißen wie der Name des Spiels. Man verbindet damit die Vorstellung, dass die Schere (S) kaputt geht, wenn man versucht, mit ihr einen Stein (St) zu zerschneiden, wohingegen die Schere das Papier (P) problemlos in Stücke schneidet. Mit dem Papier kann man den Stein einwickeln. Daraus ergibt sich, dass Schere gegen Papier, Papier gegen Stein und Stein gegen Schere gewinnt. Bei gleicher Strategie beider Spieler kommt es zu einem Unentschieden. Für die spieltheoretische Behandlung wird meistens Sieg mit einem Punktgewinn, Unentschieden mit 0 und Niederlage mit einem Punktverlust gewertet.

Die Strategiemengen der Spieler lauten also . Die Menge aller möglichen Strategiekombinationen (Kartesisches Produkt) ist dann:

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